已知点O为三角形ABC的外心,且向量AO*向量BC+2向量BO*向量CA+3向量CO*向量AB=0试求1/tanA+1/tanC的最小值

Question

已知点O为三角形ABC的外心,且向量AO*向量BC+2向量BO*向量CA+3向量CO*向量AB=0
试求1/tanA+1/tanC的最小值

Answer 1

解析：O是外心,令：|OA|=|OB|=|OC|=r,r是外接圆半径
AO·(OC-OB)+2BO·(OA-OC)+3CO·(OB-OA)
=-OA·OC+OA·OB-2OA·OB+2OB·OC-3OB·OC+3OA·OC
=2OA·OC-OA·OB-OB·OC=0
即：2r^2cos(2B)=r^2cos(2C)+r^2cos(2A)
即：2cos(2B)=cos(2C)+cos(2A)
即：cos(2B)-cos(2A)=cos(2C)-cos(2B)
即：-2sin(A+B)sin(B-A)=-2sin(B+C)sin(C-B)
即：sinCsin(B-A)=sinAsin(C-B)
化简得：cosAsinBsinC+sinAsinBcosC=2sinAcosBsinC
即：bccosA+abcosC=2accosB,化简得：a^2+c^2=2b^2
1/tanA+1/tanC=sin(A+C)/(sinAsinC)=sinB/(sinAsinC)=b^2/(sinBac)
=(a^2+c^2)/(2sinBac)≥1/sinB,等号成立的条件：a=c
即：b^2=a^2,即：a=b=c,此时：B=π/3
即1/tanA+1/tanC的最小值是：1/sinB=2√3/3