已知O是锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，若AO=xAB+yAC，且2x+10y=5，则AB•AC=．

Question

已知O是锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，若

AO

=x

AB

+y

AC

，且2x+10y=5，则

AB

•

AC

=______．

Answer 1

分别取AB、AC的中点D、E，连结OD、OE，
∵O是锐角△ABC的外接圆的圆心，D、E分别为AB、AC的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC．
由此可得Rt△AOD中，cos∠OAD=(|AD|)/(|AO|)=(1)/(2)•(|AB|)/(|AO|)，
∴

AO

•

AB

=

|AO|

•

|AB|

cos∠OAD=

|AO|

•

|AB|

•(1)/(2)•(|AB|)/(|AO|)=(1)/(2)|

AB

|2=18．
同理可得

AO

•

AC

=(1)/(2)|

AC

|2=50．
∵

AO

=x

AB

+y

AC

，
∴等式的两边都与

AB

作数量积，得

AO

•

AB

=x

AB

²+y

AB

•

AC

，化简得18=36x+y

AB

•

AC

，…①
同理，等式的两边都与

AC

作数量积，化简得50=x

AB

•

AC

+100y，…②
又∵根据题意知2x+10y=5，…③
∴①②③联解，可得

AB

•

AC

=20，x=(1)/(4)且y=(9)/(20)．
故答案为：20