已知O为三角形ABC的外心,AB=4,AC=2,角BAC=120度,若向量AO=a向量AB+b向量AC,则a+b=?

Question

已知O为三角形ABC的外心,AB=4,AC=2,角BAC=120度,若向量AO=a向量AB+b向量AC,则a+b=?

Answer 1

因为 O 为三角形外心,因此 O 在三角形各边的射影恰是各边的中点,
所以向量 AO*AB=|AO|*|AB|*cos∠OAB=(|AO|*cos∠OAB)*|AB|=1/2*|AB|*|AB|=8 ,
同理 AO*AC=1/2*|AC|^2=2 ,
又 AB*AC=|AB|*|AC|*cos∠BAC=4*2*(-1/2)= -4 .
在 AO=aAB+bAC 的两边分别同乘以 AB、AC 得
AO*AB=a*AB^2+bAC*AB ,AO*AC=aAB*AC+bAC^2 ,
即 8=16a-4b ,2= -4a+4b ,
解得 a=5/6,b=3/4 ,
所以 a+b=5/6+3/4=19/12 .