已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若AO＝λ1AB+λ2AC，则λ1+λ2的值为（）A．2B．136C．73D．52

Question

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若

AO

＝λ1

AB

+λ2

AC

，则λ₁+λ₂的值为（　　）

A．2
B．(13)/(6)
C．(7)/(3)
D．(5)/(2)

Answer 1

如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2，0），C（-(1)/(2)，(√(3))/(2) ），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-(1)/(4)，(√(3))/(4)），AC的斜率为-√(3)，
∴中垂线n的方程为 y-(√(3))/(4)=(√(3))/(3)（x+(1)/(4) ）．
把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，(2√(3))/(3) ），
由条件

AO

＝λ1

AB

+λ2

AC

得（1，(2√(3))/(3)）=λ₁（2，0）+λ₂（-(1)/(2)，(√(3))/(2)）=（2λ₁-(1)/(2)λ₂，(√(3))/(2)λ₂ ），
∴2λ₁-(1)/(2)λ₂=1，(√(3))/(2)λ₂=(2√(3))/(3)，
∴λ₁=(5)/(6)，λ₂=(4)/(3)，
∴λ₁+λ₂=(13)/(6)，
故选B