三角形内心为什么满足aMA+bMB+cMC=0(MA,MB,MC位向量)其中BC=a,AC=b.AB=c,M为内心

Question

三角形内心为什么满足aMA+bMB+cMC=0(MA,MB,MC位向量)其中BC=a,AC=b.AB=c,M为内心

Answer 1

角平分线到两边距离相等.面积BMC:面积AMC:面积AMB=a:b:c
aMA+bMB+cMC=0这是向量叉积的性质.
不用向量叉积：设AM,BM,CM角三角形边于D,E,F,AC=bi,AB=cj,i,j为单位向量但不一定垂直.BD/DC=c/b(角平分线性质)
AD=bcj/(b+c)+bci/(b+c)=bc(i+j)/(b+c)
同理：BE=ac(-j+i-j)/(a+c)=ac(i-2j)/(a+c)
M在AD,BE上设λAD=μBE,利用i,j不共线,解出λ,μ,解出AM,BM,同理解出CM
没分我就不浪费过多时间了,你自己去求一下,应该很简单的.