如图，△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD、BI；（1）求证：DB=DI；（2）连接OI，若OI⊥AD，且AB+AC=10，求BC的长．

Question

如图，△ABC内接于⊙O，点I是△ABC的内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD、BI；
（1）求证：DB=DI；
（2）连接OI，若OI⊥AD，且AB+AC=10，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：∵点I是△ABC的内心
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI
∵∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD；

（2）证明：延长AI交⊙O于D，连接OA、OD、BD和BI，
∵OA=OD，OI⊥AD
∴AI=ID，
∵I为△ABC内心，
∴∠BAD=∠BCD，
∴弧BD=弧CD，
∵弧CD=弧CD，
∴∠BCD=∠BAD，
∴∠DBI=∠BCD+∠CBI=∠CAD+∠CBI，
=(1)/(2)（∠BAC+∠ACB），
∵∠DIB=∠DAB+∠ABI=(1)/(2)（∠BAC+∠ABC），
∴∠DIB=∠DBI，
∴BD=ID=AI，
 

BD

=

DC

，
故OD⊥BC，记垂足为E，则有BE=(1)/(2)BC，
作IG⊥AB于G，又∠DBE=∠IAG，而BD=AI，
∴Rt△BDE≌Rt△AIG，
于是，AG=BE=(1)/(2)BC，但AG=(1)/(2)（AB+AC-BC），
故AB+AC=2BC，
∴BC=5．