已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC的面积的最大值为．

Question

已知△ABC中，BC=2，G为△ABC的重心，且满足AG⊥BG，则△ABC 的面积的最大值为___．

Answer 1

设AB中点为O，连接AO，可得重心G在CO上且

OG

=(1)/(3)

OC

，
以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立如图所示直角坐标系，
设AB=2r（r>0），则A（-r，0），B（r，0），
设C（x，y），可得G（(x)/(3)，(y)/(3)）
∵AG⊥BG，
∴点G在以AB为直径的圆上运动（A、B两点除外）
由此可得（(x)/(3)）²+（(y)/(3)）²=r²，整理得x²+y²=9r²，
因此，点C在以原点为圆心，半径为3r的圆上运动（x轴上两点除外），
可得，当x=0时，y取得最大值3r，
∴此时，tan(C)/(2)=(1)/(3)，AC=BC=2，
∵r²+（3r）²=2，解得：r=(√(10))/(5)，
∴此时，S_△ABC=(1)/(2)×2r×3r=(6)/(5)．
故答案为：(6)/(5)．