已知点G是△ABC的重心，且AG⊥BG，1tanA+1tanB=λtanC，则实数λ的值为（）A.13B.12C.3D.2

Question

已知点G是△ABC的重心，且AG⊥BG，(1)/(tanA)+(1)/(tanB)=(λ)/(tanC)，则实数λ的值为（　　）
A. (1)/(3)
B. (1)/(2)
C. 3
D. 2

Answer 1

如图，连接CG，延长交AB于D，
由于G为重心，故D为中点，
∵AG⊥BG，∴DG=(1)/(2)AB，
由重心的性质得，CD=3DG，即CD=(3)/(2)AB，
由余弦定理得，AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，
BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC，
∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD，
∴AC²+BC²=2AD²+2CD²，
∴AC²+BC²=(1)/(2)AB²+(9)/(2)AB²=5AB²，
又∵(1)/(tanA)+(1)/(tanB)=(λ)/(tanC)，
∴(cosA)/(sinA)+(cosB)/(sinB)＝(λcosC)/(sinC)，即λ=((sinAcosB+cosAsinB)sinC)/(sinAsinBcosC)，
∴λ=(sin(A+B)sinC)/(sinAsinBcosC)=(sin2C)/(sinAsinBcosC)
=(AB2)/(BC•AC•cosC)=(2AB2)/(BC2+AC2−AB2)=(2AB2)/(5AB2−AB2)=(1)/(2)．
即λ＝(1)/(2)．
故选B．