OP＝OA+λ(AB|AB|+AC|AC|)，λ∈[0，+∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心

Question

OP

＝

OA

+λ((AB)/(|AB|)+(AC)/(|AC|))，λ∈[0，+∞)，则点P的轨迹一定过△ABC的（　　）

A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心

Answer 1

∵(AB)/(|AB|)、(AC)/(|AC|)分别表示与向量

AB

、

AC

方向相同的单位向量，
∴设

AD

＝(AB)/(|AB|)、

AE

＝(AC)/(|AC|)，则

|AD|

=

|AE|

=1，
以AD、AE为邻边作平行四边形ADFE，可得

AF

＝

AD

+

AE

＝(AB)/(|AB|)+(AC)/(|AC|)，
∴四边形ADFE是菱形，可得AF平分∠BAC．
又∵

OP

＝

OA

+λ((AB)/(|AB|)+(AC)/(|AC|))，λ∈[0，+∞)，
∴

AP

＝

OP

−

OA

＝λ((AB)/(|AB|)+(AC)/(|AC|))=λ

AF

，可得点P在射线AF上运动．
由于△ABC的内心在∠BAC的平分线上，所以点P的轨迹一定经过△ABC的内心．
故选：B