如图，在△ABC中，已知A（，0），B（，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为H，且，（Ⅰ）求点H的轨迹方程；（Ⅱ）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在F，H之间），且

Question

如图，在△ABC中，已知A（ ，0），B（ ，0），CD⊥AB于D，△ABC的垂心为H，且 ，
（Ⅰ）求点H的轨迹方程；
（Ⅱ）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在F，H之间），且满足 ，求λ的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）设点H的坐标为（x，y），C点坐标为（x，m），则D（x，0），
∴ ，
∴m=2y，
故C点为（x，2y），
∵ ，
∴ ，x ² +2y ² =2，
故点H的轨迹方程为 （y≠0）；
（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y=kx+2，
代入椭圆方程 ，得 ，
由Δ＞0得 ，
设G（x ₁ ，y ₁ ），H（x ₂ ，y ₂ ），
则 ，
又∵ ，
∴（x ₁ ，y ₁ -2）=λ（x ₂ ，y ₂ -2），
∴x ₁ =λx ₂ ，
∴x ₁ +x ₂ =（1+λ）x ₂ ， ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
，
∴ ，
∴ ，解得 ，
时， ，
∴ ，
又∵0＜λ＜1，
∴ ；
又当直线GH斜率不存在，方程为x=0， ，
∴ 。