求一道空间几何题已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足。1。求证：PA⊥平面ABC，2.当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形望各位高手前来作答，小弟笨拙

Question

求一道空间几何题已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足。 1。求证：PA⊥平面ABC， 2.当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形 望各位高手前来作答，小弟笨拙，请仔细点，谢谢

Answer 1

已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足。 （1）求证：PA⊥平面ABC； （2）当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形。 证明： （1）如图，在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F，平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC ∴ DF⊥平面PAC，PA 平面PAC ∴ DF⊥AP，作DG⊥AB于G 同理可证DG⊥AP，DG、DF都在平面ABC内 ∴ PA⊥平面ABC （2）连结BE并延长BE交PC于H ∵ E是△PBC的垂心 ∴ PC⊥BE 又已知AE是平面PBC的垂线 ∴ PC⊥AE，从而PC⊥平面ABE ∴ PC⊥AB 又∵ PA⊥平面ABC ∴ PA⊥AB ∴ AB⊥平面PAC ∴ AB⊥AC 即△ABC是直角三角形