已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心

Question

已知椭圆 的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

已知椭圆 的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得b=1，a= ，b= ，
故椭圆方程为 ．                       
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心，
设P（x ₁ ，y ₁ ），Q（x ₂ ，y ₂ ），
因为M（0，1），F（1，0），
所以k _PQ =1．                    
于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，
消元可得3x ² +4mx+2m ² ﹣2=0．
由△＞0，得m ² ＜3，且x ₁ +x ₂ =﹣ ，x ₁ x ₂ = ．    
由题意应有 ，
所以x ₁ （x ₂ ﹣1）+y ₂ （y ₁ ﹣1）=0，
所以2x ₁ x ₂ +（x ₁ +x ₂ ）（m﹣1）+m ² ﹣m=0．
整理得2× ﹣ （m﹣1）+m ² ﹣m=0．
解得m=﹣ 或m=1．                              
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去．
当m=﹣ 时，所求直线l存在，且直线l的方程为y=x﹣ ．