已知点G,H分别为三角形ABC的重心,垂心,若向量AC的模长为4,向量AB的模长为6,则向量HG*向量BC的值为?

Question

已知点G,H分别为三角形ABC的重心,垂心,若向量AC的模长为4,向量AB的模长为6,则向量HG*向量BC的值为?

Answer 1

首先向量 HG=HA+AG
所以 HG*BC=HA*BC+AG*BC
而H是垂心 所以AH是垂直于BC的 那HA*BC=0
则 HG*BC=AG*BC
取E为BC的中线 则由于G是重心 有 AG=2/3AE
AE为中线则 AE=1/2(AB+AC) 所以AG=1/3(AB+AC)
而BC=AC-AB
那么 HG*BC=AG*BC=1/3(AB+AC)*（AC-AB）=1/3(AC^2-AB^2)=-20/3