如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为△AOC的垂心．（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；（2）若PA=AB=2AC=2，点Q在线段PA上，且PQ=2QA，求三棱锥P-QGC的体积．

Question

如图，点C在以AB为直径的圆O上，PA垂直与圆O所在平面，G为△AOC的垂心．

（1）求证：平面OPG⊥平面PAC；
（2）若PA=AB=2AC=2，点Q在线段PA上，且PQ=2QA，求三棱锥P-QGC的体积．

Answer 1

（1）证明：∵G为△AOC的垂心，∴OG⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，OG⊂平面ABC，
∴PA⊥OG．
又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，
∴OG⊥平面PAC．
又OG⊂平面OPG，
∴平面OPG⊥平面PAC．
（2） 延长OG交AC于点M．
由（1）知OM⊥平面PAC，
即GM为点G到平面PAC的距离．
由已知可得，OA=OC=AC=1，
∴△AOC为正三角形，
∴OM=(√(3))/(2)．GM=(1)/(3)OM=(√(3))/(6)．
∵PA=2，PQ=2QA，∴PQ=(4)/(3)．
∴S_△PQC=(1)/(2)PQ•CA=(1)/(2)×(4)/(3)×1=(2)/(3)，
∴V_P-QGC=V_G-PQC=(1)/(3)S△PQC•GM=(1)/(3)×(2)/(3)×(√(3))/(6)=(√(3))/(27)．