在三角形abc中,AD,CF,BE分别为BC,AB,AC的高,D,E,F分别为垂足,H为垂心,求证：H为三角形ABC的内心

Question

在三角形abc中,AD,CF,BE分别为BC,AB,AC的高,D,E,F分别为垂足,H为垂心,求证：H为三角形ABC的内心

Answer 1

题目应该是求证：H为三角形DEF的内心
∵AD⊥BC,BE⊥AC,CF⊥AB
可得∠BFH+∠BDH=90°+90°=180°
∴B、D、H、F四点共圆
同理,A、E、H、F和C、E、H、D均四点共圆
∴∠ADF=∠ABE,∠ADE=∠ACF
由△ABE∽△ACF得
∠ABE=∠ACF
∴∠ADF=∠ADE
∴AD平分∠EDF
同理,BE平分∠DEF
∴H为三角形DEF的内心