已知等差数列{an}．满足：an+1>an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an+2log2bn=-1．（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求证：数列{an•bn}的前n项和Tn．

Question

已知等差数列{a_n}．满足：a_n+1>a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a_n+2log₂b_n=-1．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（本小题满分12分）
（Ⅰ）设d、为等差数列{a_n}的公差，且d>0
由a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分别加上1，1，3成等比数列，
得（2+d）²=2（4+2d），
d>0，所以d=2，所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
又因为a_n=-1-2log₂b_n，
所以log₂b_n=-n即b_n=(1)/(2n)．…（6分）
（Ⅱ）Tn=(1)/(21)+(3)/(22)+(5)/(23)+…+(2n-1)/(2n)…①，
(1)/(2)Tn=(1)/(22)+(3)/(23)+(5)/(24)+…+(2n-1)/(2n+1)…②，
①-②，得
(1)/(2)Tn=(1)/(2)+((1)/(22)+(1)/(23)+(1)/(24)+…+(1)/(2n))-(2n-1)/(2n+1)．…（10分）
∴Tn=1+(1-(1)/(2n-1))/(1-(1)/(2))-(2n-1)/(2n)=3-(1)/(2n-2)-(2n-1)/(2n)=3-(2n+3)/(2n)…（12分）