已知数列{an}为等比数列，a1=2，公比q＞0，且a2，6，a3成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，Tn＝1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1bnbn+1，求使Tn＜67的n的值．

Question

已知数列{a_n}为等比数列，a₁=2，公比q＞0，且a₂，6，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，Tn＝(1)/(b1b2)+(1)/(b2b3)+(1)/(b3b4)+…+(1)/(bnbn+1)，求使Tn＜(6)/(7)的n的值．

Answer 1

（1）由a₂，6，a₃成等差数列，
得12=a₂+a₃…（2分）
又{a_n}为等比数列，且a₁=2，
故12=2q+2q²…（3分）
解得q=2，或q=-3，
又q＞0…（5分），
∴q=2，
∴an＝2•2n−1＝2n…（7分）
（2）∵bn＝log22n＝n，
∴bnbn+1＝(1)/(n(n+1))＝(1)/(n)−(1)/(n+1)…（10分）
∴Tn＝(1−(1)/(2))+((1)/(2)−(1)/(3))+…+((1)/(n)−(1)/(n+1)) ＝1−(1)/(n+1)…（12分）
故由Tn＜(6)/(7)，得n＜6，又n∈N^*
∴n的取值为1，2，3，4，5．