已知角α的顶点与直角坐标系原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，且α∈[0，π）．（1）若点P的坐标是(−3m，4m)，求cos(α−π3)的值；（2）设点M的坐标是(12，32)，求

Question

已知角α的顶点与直角坐标系原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P，且α∈[0，π）．
（1）若点P的坐标是(−3m，4m)，求cos(α−(π)/(3))的值；
（2）设点M的坐标是((1)/(2)，(√(3))/(2))，求使得函数f(a)＝

OM

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MP

−k的恰有两个零点的实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由已知条件及三角函数定义，得到tanα=-(3)/(4)，又α∈[0，π），
∴sinα=(4)/(5)，cosα=-(3)/(5)，
则cos（α-(π)/(3)）=cosαcos(π)/(3)+sinαsin(π)/(3)=-(3)/(5)×(1)/(2)+(4)/(5)×(√(3))/(2)=(−3+4√(3))/(10)；
（2）由点M的坐标是((1)/(2)，(√(3))/(2))，P（cosα，sinα），
由已知令f（α）=

OM

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MP

-k=（(1)/(2)，(√(3))/(2)）（cosα-(1)/(2)，sinα-(√(3))/(2)）-k
=（(1)/(2)cosα+(√(3))/(2)sinα）-1-k=sin（α+(π)/(6)）-1-k=0，
即1+k=sin（α+(π)/(6)），
又α∈[0，π），∴α+(π)/(6)∈[(π)/(6)，(7π)/(6)），
由正弦函数图象得：1+k∈[(1)/(2)，1），
则函数f(a)＝

OM

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MP

−k的恰有两个零点的实数k取值范围是-(1)/(2)≤k＜0．