如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为210，255．（1）求tan(−19π4+α+β)的值；（2）

Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴正半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相
交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为(√(2))/(10)，(2√(5))/(5)．
（1）求tan(−(19π)/(4)+α+β)的值；
（2）求α+2β的值．

Answer 1

（1）由条件得cosα＝(√(2))/(10)，cosβ＝(2√(5))/(5)，α为锐角，
故sinα＞0且sinα＝(7√(2))/(10)．同理可得sinβ＝(√(5))/(5)，
因此tanα＝7，tanβ＝(1)/(2)．
∴tan(α+β)＝(tanα+tanβ)/(1−tanαtanβ)＝(7+(1)/(2))/(1−7×(1)/(2))＝−3．
∴tan(−(19π)/(4)+α+β)＝tan(α+β−(3π)/(4))＝(tan(α+β)−tan(3π)/(4))/(1+tan(α+β)tan(3π)/(4))＝−(1)/(2)．
（2）tan(α+2β)＝tan[(α+β)+β]＝(−3+(1)/(2))/(1−(−3)×(1)/(2))＝−1，
∵0＜α＜(π)/(2)，0＜β＜(π)/(2)，
∴0＜α+2β＜(3π)/(2)，从而α+2β＝(3π)/(4)．