如图，AB为圆O的直径，点D在圆O上，在梯形ABCD中：（1）线段AB与线段DC都分别垂直于BC；（2）AB=2CD，DMB是以点C为圆心的圆弧．请问如图中阴影部分的面积与圆O的面积之比是多少？

Question

如图，AB为圆O的直径，点D在圆O上，在梯形ABCD中：

（1）线段AB与线段DC都分别垂直于BC；
（2）AB=2CD，

DMB

是以点C为圆心的圆弧．
请问如图中阴影部分的面积与圆O的面积之比是多少？

Answer 1

如图，连结BD，设 O的半径为r，则OB=BC=CD=r．
∵梯形ABCD内部空白部分的面积=2（S_扇形DCB-S_△DCB）=2×（(90π•r2)/(360)-(1)/(2)r²）=（(1)/(2)π-1）r²，
∴图中阴影部分的面积=S_梯形ABCD-S_空白=(1)/(2)（r+2r）•r-（(1)/(2)π-1）r²=（(5)/(2)-(1)/(2)π）r²，
又∵ O的面积=πr²，
∴图中阴影部分的面积与 O的面积之比为((5-π)/(2)r2)/(πr2)=(5-π)/(2π)．