邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下

Question

邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=1，AD=2，则矩形ABCD是1阶矩形．
探究：（1）两边分别是2和3的矩形是______阶矩形；
（2）小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2，把矩形ABCD沿着BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC的点F处，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是正方形．
（3）操作、计算：
①已知矩形的两边分别是2，a（a＞2），而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；
②已知矩形的两邻边长为a，b，（a＞b），且满足a=5b+m，b=4m．请直接写出矩形是几阶矩形．

Answer 1

（1）由题意，得，第一次操作应该减去一个边长为2的正方形，
∴就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形．
∴共操作2次．
∴这个矩形是2阶矩形．
故答案为：2；

（2）∵△AEB与△FEB关于直线BE成轴对称，
∴△AEB≌△FEB，
∴AE=FE，∠BFE=∠A．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABF=90°，
∴∠A=∠ABF=∠BFE=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∵AE=FE，
∴矩形ABFE为正方形；

（3）①由题意，得
如图1，

∴a的值=8，

∴a的值=5，
同理可得出：a=(10)/(3)或(8)/(3)，
∴a的值为8或5或(10)/(3)或(8)/(3)；
②由题意，得
∵a=5b+m，b=4m，
∴a=21m，
如图

∴是8阶矩形．