如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝π3，若PA=PD，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：AD⊥PB；（2）若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝(π)/(3)，若PA=PD，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：AD⊥PB；
（2）若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．

Answer 1

（1）取AD的中点O，连结PO、BO、BD
∵PA=PD，∴PO⊥AD
∵底面ABCD是含有60°的菱形，∠BAD=60°，O为AD中点
∴△ABD是正三角形，可得OB⊥AD，
∵PO、OB是平面POB内的相交直线，∴AD⊥平面POB
∵PB⊂平面POB，∴AD⊥PB；
（2）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，证明如下
连结OE、OC
∵菱形ABCD中，E为BC的中点，O为AD的中点
∴DO

∥

.

CE，可得四边形DOEC为平行四边形
设DE∩OC=M，可得M为OC的中点，得FM∥PO
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊥AD
∴PO⊥平面ABCD，可得FM⊥平面ABCD，
∵FM⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD