在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，交BC于E，EG⊥AB于G，求证：四边形CFGE是菱形．

Question

在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，交BC于E，EG⊥AB于G，求证：四边形CFGE是菱形．

Answer 1

证明：∵∠ACB=90°，
∴AC⊥EC．
又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，
∴GE=CE．
在Rt△AEG与Rt△AEC中，

GE＝CE

AE＝AE

，
∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；
∴GE=EC，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥AB．
又∵EG⊥AB，
∴EG∥CD，
∴∠CFE=∠GEA．
又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，
∴∠GEA=∠CEA，
∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴GE=EC=FC．
又∵EG∥CD，即GE∥FC，
∴四边形GECF是菱形．