如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，以AD为直径的O与AE交于点F．（1）求证：四边形AOCE为平行四边形；（2）求证：CF与O相切；（3）若F为AE的中点，求∠ADF的大小．

Question

如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，以AD为直径的 O与AE交于点F．

（1）求证：四边形AOCE为平行四边形；
（2）求证：CF与 O相切；
（3）若F为AE的中点，求∠ADF的大小．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，
∵E为BC边中点，AO=DO，
∴AO=(1)/(2)AD，EC=(1)/(2)BC，
∴AO=EC，AO∥EC，
∴四边形OAEC是平行四边形；

（2）如图1，连接OF，
∵四边形OAEC是平行四边形
∴AE∥OC，
∴∠DOC=∠OAF，
∠FOC=∠OFA，
∵OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∴∠DOC=∠FOC，
在△ODC与△OFC中，

OD=OF

∠DOC=∠FOC

OC=OC

，
∴△ODC≌△OFC（SAS），
∴∠OFC=∠ODC=90°，
∴OF⊥CF，
∴CF与 O相切；

（3）如图2，连接DE，
∵AD是直径，
∴∠AFD=90°，
∵点F为AE的中点，
∴DF为AE的垂直平分线，
∴DE=AD，
在△ABE与R△DCE中，

AB=CD

∠B=∠BCD=90°

BE=CE

，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴AE=DE=AD，
∴三角形ADE为等边三角形，
∴∠DAF=60°，
∴∠ADF=30°．