已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，点D为AC边上的一个动点，DE⊥AB，垂足为点E．（1）如图1，当BD恰好平分∠ABC时，求AD的长；（2）如图2，若点F为BD的中点，联结EF，EC，FC，判断△EFC的

Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，点D为AC边上的一个动点，DE⊥AB，垂足为点E．

（1）如图1，当BD恰好平分∠ABC时，求AD的长；
（2）如图2，若点F为BD的中点，联结EF，EC，FC，判断△EFC的形状并加以证明；
（3）当△EFC的面积取得最小值时，求AD的长．

Answer 1

（1）如图1，当BD平分∠ABC时，
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
设AD=x，则CD=ED=6-x，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=(1)/(2)AD=(1)/(2)x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得（(1)/(2)x）²+（6-x）²=x²，
解得x₁=24-12√(3)，x₂=24+12√(3)（舍去）
∴AD的长为24-12√(3)；

（2）如图2，∵点F是BD的中点，∠DEB=∠DCB=90°，
∴EF=(1)/(2)BD=CF=BF，
∴∠EBF=∠BEF，∠FBC=∠FCB，
∴∠EFC=∠EFD+∠CFD=2∠EBF+2∠CBF=2∠ABC=60°，
∴△EFC是等边三角形；

（3）∵点D是线段AC上的动点，AC⊥BC，
∴根据垂线段最短，可得
当点D与点C重合时，BD最短，
此时CF也最短，即等边三角形EFC的面积最小，
此时，AD=AC=6．