如图,在三角形ABC中,∠ACB=90度,AC=BC=2,BD是AC边上的中线,CE⊥BD,垂足为E.1求证：∠ABD=∠CAE2若点F在边AB上,且△AEF为等腰三角形,求AF的长图···believeU

Question

如图,在三角形ABC中,∠ACB=90度,AC=BC=2,BD是AC边上的中线,CE⊥BD,垂足为E.
【1】求证：∠ABD=∠CAE 【2】若点F在边AB上,且△AEF为等腰三角形,求AF的长 图···believe U

Answer 1

（1） 延长BD至G使得GD=ED,连接AG、CG,易证AECG为平行四边形,AG垂直于BG,又AC垂直于BC,所以AGCB四点共圆（以AB为直径）,角ACG和角ABG为圆周角且对应弦长均为AG,则角ABG=角ACG=角CAE （2）三角形AEF为等腰三角形,即满足AF=AE或AF=FE AE的值可计算出来△ACD∽△BAE则可列出比例:AC:BC=CE:AE {CE=(2/5)√5 根据第一问的值和勾股定理求得} AC=2 BC=2√2 算出AE=(2/5)√10 若AF=AE 则AF=(2/5)√10 若AF=FE 还需利用余弦定理列式 ∠AEF=∠EAF=∠EBC=∠DCE(证明略) cos∠AEF=(2/5)√5 设AF=y 则y^2+(2/5)√10^2-2(2/5)√10y(2/5)√5=y^2 (2/5)√10^2=2(2/5)√10y(2/5)√5 y=√2/2 综上所述AF=(2/5)√10或√2/2