如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=2.其中正确的结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个
如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:
①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=
.2
其中正确的结论有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∵BE⊥AC于点F,
∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正确;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
∴
AE |
BC |
AF |
CF |
∵AE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴
AF |
CF |
1 |
2 |
∴CF=2AF,故②正确,
∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE=
1 |
2 |
∴BM=CM,
∴CN=NF,
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,

∴DF=DC,故③正确;
设AD=a,AB=b由△BAE∽△ADC,有
b |
a |
| ||
b |
∵tan∠CAD=
CD |
AD |
b |
a |
| ||
2 |
故④错误,
故选B.
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