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如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=2.其中正确的结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个

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如图,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论:
①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=

2

其中正确的结论有(  )
作业帮

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

▼优质解答
答案和解析
过D作DM∥BE交AC于N,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∵BE⊥AC于点F,
∴∠EAC=∠ACB,∠ABC=∠AFE=90°,
∴△AEF∽△CAB,故①正确;
∵AD∥BC,
∴△AEF∽△CBF,
AE
BC
=
AF
CF

∵AE=
1
2
AD=
1
2
BC,
AF
CF
=
1
2

∴CF=2AF,故②正确,
∵DE∥BM,BE∥DM,
∴四边形BMDE是平行四边形,
∴BM=DE=
1
2
BC,
∴BM=CM,
∴CN=NF,
∵BE⊥AC于点F,DM∥BE,
∴DN⊥CF,作业帮
∴DF=DC,故③正确;
设AD=a,AB=b由△BAE∽△ADC,有
b
a
=
a
2
b

∵tan∠CAD=
CD
AD
=
b
a
=
2
2

故④错误,
故选B.
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