求证：任意一个圆内接四边形,其对角线的乘积等于两组对边乘积的和.

Question

求证：任意一个圆内接四边形,其对角线的乘积等于两组对边乘积的和.

Answer 1

【设四边形ABCD内接于圆,求证：AC×BD=AB×CD+BC×AD】
证明：
在BD上取一点E,使∠BAE=∠CAD
∵A,B,C,D四点共圆
∴∠ABE=∠ACD
∴⊿ABE∽⊿ACD（AA‘）
∴AB/AC=BE/CD
∴AB×CD=AC×BE.①
∵⊿ABE∽⊿ACD
∴AB/AC=AE/AD＝＞AB/AE=AC/AD
又∵∠BAC=∠EAD
∴⊿BAC∽⊿EAD【对应边成比例,夹角相等】
∴BC/ED=AC/AD
∴BC×AD=AC×ED.②
①+②得
AB×CD+BC×AD=AC×BE+AC×ED=AC×（BE+ED）=AC×BD
∴AC×BD=AB×CD+BC×AD