三角形ABC的内甪A,B,C的对边分别为a,b,C,已知a＝bcosC十csinB.（1）求B（2）求三角形ABC面积的最大值

Question

三角形ABC的内甪A,B,C的对边分别为a,b,C,已知a＝bcosC十csinB.（1）求B
（2）求三角形ABC面积的最大值

Answer 1

（1）
利用正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
∵ a=bcosC+csinB
∴ sinA=sinBcosC+sinCsinB
∵ sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)
∴ sinBcosC+cosCsinB=sinBcosC+sinCsinB
∴ cosCsinB=sinCsinB
∴ tanB=1
∴ B=π/4
（2）
S=(1/2)acsinB=(√2/4)ac
利用余弦定理
4=a²+c²-2ac*cos(π/4)
∴ 4=a²+c²-√2ac≥2ac-√2ac
∴ ac≤4/(2+√2)=2(2+√2)
当且仅当a=c时等号成立
∴ S的最大值是(√2/4)*2*(2+√2)=√2+1