一道线性代数题目设AB都是N阶方阵,且除了第一列元素不同外,其余元素都相同,又已知|A|=3,|B|=1试求|A+B|?答案是2^n+1

Question

一道线性代数题目
设AB都是N阶方阵,且除了 第一列元素不同外,其余元素都相同,又已知|A|=3,|B|=1
试求|A+B|?
答案是2^n+1

Answer 1

A+B作为矩阵,是第一列不同元素对应相加,而其余相同各列相加的结果就是各列分别2倍.
那么行列式|A+B|呢?
可以将后N-1列的倍数2提取出来,要提取N-1次,之后再进行行列式第一列分拆,
|A+B|=2^（N-1）倍的新行列式
该新行列式的首列是A和B首列相加之和,其余各列与A的一致
因此,新行列式为|A|+|B|=4
从而最后结果为2^（n+1）