（2014•乌鲁木齐二模）已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x3-3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为．

Question

（2014•乌鲁木齐二模）已知直线x+y+1=0与曲线C：y=x³-3px²相交于点A，B，且曲线C在A，B处的切线平行，则实数p的值为______．

Answer 1

由y=x³-3px²，得y′=3x²-6px，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为3x12−6px1，3x22−6px2，
∵曲线C在A，B处的切线平行，
∴3x12−6px1=3x22−6px2，
令3x12−6px1=3x22−6px2=m，
∴x₁，x₂是方程3x²-6px-m=0的两个根，
则x₁+x₂=2p，
下面证线段AB的中点在曲线C上，
∵(x13−3px12+x23−3px22)/(2)=((x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]−3p[(x1+x2)2−2x1x2])/(2)
=(8p3−12p3)/(2)＝−2p3，
而((x1+x2)/(2))3−3p((x1+x2)/(2))2＝((2p)/(2))3−3p((2p)/(2))2=-2p³，
∴线段AB的中点在曲线C上，
由x₁+x₂=2p，知线段的中点为（p，-p-1），
∴-p-1=p³-3p•p²=-2p³，解得p=1．
故答案为：1．