求曲线y=x^2关于直线y=x+1对称的曲线方程

Question

求曲线y=x^2关于直线y=x+1对称的曲线方程

Answer 1

求曲线y=x²关于直线L:y=x+1对称的曲线方程
设P(x,y)是曲线y=x²是任意一点,Q(x′,y′)是其关于直线y=x+1对称的点,那么PQ的中点
((x+x′)/2,(y+y′)/2)必在其对称轴y=x+1上,故有等式：
(y+y′)/2=(x+x′)/2+1,即有(x+x′)-(y+y′)+2=0.(1)
PQ⊥L,故PQ所在直线的斜率KPQ=(y-y′)/(x-x′)=-1,即有：
(x-x′)+(y-y′)=0.(2)
(1)+(2)得2x-2y′+2=0,即有x=y′-1.(3)
(1)-(2)得2x′-2y+2=0,即有y=x′+1.(4)
将(3)(4)代入原曲线方程y=x²,即得x′+1=(y′-1)²,化简得x′=(y′)²-2y′,照顾习惯,把x′,y′ 改写成
x,y,便得到曲线y=x²关于直线y=x+1对称的曲线方程为x=y²-2y.