已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n+1Xn^2（前面负1的n+1次方乘以n的平方,前n项和为Sn.（1）求S1,S2,S3,S4,S5,推出Sn的值（2）用数学归纳法证明（1）中所猜想的结论

Question

已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n+1Xn^2（前面负1的n+1次方乘以n的平方,前n项和为Sn.
（1）求S1,S2,S3,S4,S5,推出Sn的值
（2）用数学归纳法证明（1）中所猜想的结论

Answer 1

1
an=(-1)^(n+1)Xn^2
S1=1
S2=a1+a2=1-2^2=-3
S3=S2+a3=6
S4=S3+a4=6-16=-10
S5=S4+a5=-10+15=15
推测：Sn=(-1)^(n+1)*n(n+1)/2
2
证明：
1º 当n=1时,易知等式成立（由S1等..归纳的）
2º假设当n=k时,等式成立
即Sk=(-1)^(k+1)*k(k+1)/2成立
那么当n=k+1时,
S(k+1)=Sk+a(k+1)=(-1)^(k+1)*k(k+1)/2+(-1)^(k+2)*(k+2)²
=-(-1)^(k+2)*k(k+1)/2+(-1)^(k+2)*(k+2)²
=(-1)^(k+2)[-k(k+1)/2+(k+2)²]
=(-1)^(k+2) (-1/2*k²+1/2*k+k²+2k+1)
=(-1)^(k+2)[(1/2*k²+3/2*k+1)
=(-1)^(k+2)[(k²+3k+2)/2]
=(-1)^(k+2)*(k+1)(k+2)/2
=(-1)^(k+2)*(k+1)[(k+1)+1]/2
即当n=k+1时,等式成立
由1º2º可知当n∈N*时,等式总成立