已知一曲线是与两个定点0(0,0)A(a,0)(a≠0)距离的比为k的点的轨迹,求此曲线的方程,并判断曲线的形状设动点P的坐标为（x,y),则有等式：√[(x-a)²+y²]=k√(x²+y²）;平方去根号得（x-a)&

Question

已知一曲线是与两个定点0(0,0)A(a,0)(a≠0)距离的比为k的点的轨迹,求此曲线的方程,并判断曲线的形状
设动点P的坐标为（x,y),则有等式：√[(x-a)²+y²]=k√(x²+y²）;
平方去根号得（x-a)²+y²=k²(x²+y²)
展开化简得(k²-1)x²+2ax+(k²-1)y²=a²
当k=1时,则有2ax=a²,即x=a/2,是一条经过OA的中点且垂直于x轴的直线.
当k≠1即k>1或0

Answer 1

1.已知一曲线是与两个定点0(0,0)A(a,0)(a≠0)距离的比为k的点的轨迹,求此曲线的方程,并判断曲线的形状
设动点P的坐标为（x,y),则有等式：√[(x-a)²+y²]=k√(x²+y²）;
平方去根号得（x-a)²+y²=k²(x²+y²)
展开化简得(k²-1)x²+2ax+(k²-1)y²=a²
当k=1时,则有2ax=a²,即x=a/2,是一条经过OA的中点且垂直于x轴的直线.
当k≠1时,用k²-1除方程两边,得x²+[2a/(k²-1)]x+y²=a²/(k²-1)
即有[x-a/(k²-1)]²+y²=a²/(k²-1)²+a²/(k²-1)=a²k²/(k²-1)²
即曲线的方程为：[x-a/(k²-1)]²+y²=a²k²/(k²-1)².
这是一个园心在(a/(k²-1),0),半径R=ak/(k²-1)的园.
2.已知点A(4,0),p是圆x²+y²=1上的动点,则AP的中点M的轨迹方程
设P的坐标为(cost,sint),那么AP的中点的横坐标x=(4+cost)/2；
纵坐标y=(sint)/2；即有cost=2x-4,sint=2y；
故得cos²t+sin²t=1=(2x-4)²+4y²=4x²-16x+16+4y²
即有x²-4x+y²+4=1/4
(x-2)²-4+y²+4=1/4
(x-2)²+y²=1/4
这就是AP中点的轨迹方程,其图像是一个园心在（2,0),半径为1/2的园.
请采纳.