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如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,O是EG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于点H,连接OH,FH,EG与FH交于点M,对于下面四个结论:①GH⊥BE;②BG=EG;③△MFG为等腰三角形;④DE:AB
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如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,O是EG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于点H,连接OH,FH,EG与FH交于点M,对于下面四个结论:
①GH⊥BE;②BG=EG;③△MFG为等腰三角形;④DE:AB=1+
,
其中正确结论的序号为___.

①GH⊥BE;②BG=EG;③△MFG为等腰三角形;④DE:AB=1+
| 2 |
其中正确结论的序号为___.

▼优质解答
答案和解析
∵正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,
∴∠BCE=∠DCG=90°,BC=DC,EC=GC,
∴△BCE≌△DCG(SAS),
∴∠CGD=∠CEB,
又∵∠CDG=∠HDE,
∴∠EHD=∠GCD=90°,
∴GH⊥BE,故①正确;
∵∠EGC的平分线GH过点D,
∴∠BGH=∠EGH,
∵GH⊥BE,
∴∠BHG=∠EHG=90°,
∴△BGH≌△EGH(ASA),
∴BG=EG,故②正确;
∵BG=EG,GH⊥BE,
∴H为BE的中点,
又∵O是EG的中点,
∴HO是△BEG的中位线,
∴HO=
BG,HO∥BG,
∴∠MOH=∠EGC=45°,
如图,连接FO,
∵O是EG的中点,
∴等腰Rt△EFG中,OF=
EG,∠OFG=45°,
∴OH=OF,
∴∠OHF=∠OFH,
∴∠MHO+∠HOM=∠OFH+∠OFG,即∠FMG=∠MFG,
∴FG=MG,即△MFG是等腰三角形,故③正确;
如图,连接BD,
∵HG垂直平分BE,
∴DE=DB,
∵Rt△ABD中,DB:AB=
:1,
∴DE:AB=
:1,故④错误;
故答案为:①②③

∴∠BCE=∠DCG=90°,BC=DC,EC=GC,
∴△BCE≌△DCG(SAS),
∴∠CGD=∠CEB,
又∵∠CDG=∠HDE,
∴∠EHD=∠GCD=90°,
∴GH⊥BE,故①正确;
∵∠EGC的平分线GH过点D,
∴∠BGH=∠EGH,
∵GH⊥BE,
∴∠BHG=∠EHG=90°,
∴△BGH≌△EGH(ASA),
∴BG=EG,故②正确;
∵BG=EG,GH⊥BE,
∴H为BE的中点,
又∵O是EG的中点,
∴HO是△BEG的中位线,
∴HO=
1 |
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∴∠MOH=∠EGC=45°,
如图,连接FO,
∵O是EG的中点,
∴等腰Rt△EFG中,OF=
1 |
2 |
∴OH=OF,
∴∠OHF=∠OFH,
∴∠MHO+∠HOM=∠OFH+∠OFG,即∠FMG=∠MFG,
∴FG=MG,即△MFG是等腰三角形,故③正确;
如图,连接BD,
∵HG垂直平分BE,
∴DE=DB,
∵Rt△ABD中,DB:AB=
2 |
∴DE:AB=
2 |
故答案为:①②③
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