已知函数f（x）=ex-2x（x∈R）（1）求函数f（x）的极值；（2）证明：当x>0时，x2<ex；（3）证明：对任意给定的正数，总存在x0，使得当x（x0，+∞）恒有x2<cex．

Question

已知函数f（x）=e^x-2x（x∈R）
（1）求函数f（x）的极值；
（2）证明：当x>0时，x²<e^x；
（3）证明：对任意给定的正数，总存在x₀，使得当x（x₀，+∞）恒有x²<ce^x．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=e^x-2x（x∈R），
∴f′（x）=e^x-2；
令f′（x）=0，即e^x-2=0，
解得x=ln2，
∴函数f（x）的极值是
f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-2ln2；
（2）证明：设函数g（x）=e^x-x²，
∴g′（x）=e^x-2x；
由（1）知f（x）=e^x-2x在x=ln2取得极小值，
∴g′（x）≥f（ln2）=e^ln2-ln2=2-ln2>0，
∴g（x）是R上的增函数，
∴当x>0时，g（x）>g（0）=1>0，
∴e^x>x²，即x²x；
（3）对任意给定的正数c，取x₀=(4)/(√(c))>0，
由（2）知，当x>0时，e^x>x²，
∴ex=e(x)/(2)•e(x)/(2)>((x)/(2))2•((x)/(2))2，
当x>x₀时，ex=e(x)/(2)•e(x)/(2)>((x)/(2))2•((x)/(2))2>(4)/(c)•((x)/(2))2=(x2)/(c)，
因此，对任意给定的正数c，总存在x₀，当x∈（x₀，+∞）时，恒有x²<ce^x．