直角三角形ABC中,斜边BC为m,以BC的中点O为圆心,作半径为n（n小于0.5m）的圆,分别交BC于P、Q两点,求证AP^2+AQ^2+PQ^2为定值

Question

直角三角形ABC中,斜边BC为m,以BC的中点O为圆心,作半径为n（n小于0.5m）的圆,分别交BC于P、Q两点,求证AP^2+AQ^2+PQ^2 为定值

Answer 1

可以BC为X轴,O点作圆心,则若左面的点为P,右面的点为Q
则 P(-n,0) Q(n,0)
设A点坐标为（x,y)
又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可知道
AO = m/2
两点间距离公式可知
根号（x的平方 + y的平方） = m/2
又由此公式可知
AP的平方 = (x+n)的平方 + y的平方
AQ的平方 = (x-n)的平方 + y的平方
所以
|AP|平方+|AQ|平方+|PQ|平方
=[(x+n)的平方 + y的平方]+[(x-n)的平方 + y的平方]
+ 4n的平方
=2*x的平方 + 2*y的平方 + 6*n的平方
=(m的平方/4)*2 + 6*n的平方
=m的平方/2 +6*n的平方
此为定值,所以原题获证
注：*是乘号