数学分析中的一个定义及其推论不明白数学分析中的聚点定义中要求是有无限个点,而其推论中则说有点即可.怎么回事?

Question

数学分析中的一个定义及其推论不明白
数学分析中的聚点定义中要求是有无限个点,而其推论中则说有点即可.怎么回事?

Answer 1

数学分析中聚点实际上有三个等价的定义,你问到的是其中的两个,下面是他们的等价性的证明.
（1）A是一个点集,x0是一个定点（可以不属于A）,如果x0的任意邻域都含有A中的无穷多个点,则称x0是A的一个聚点.
（2）A是一个点集,x0是一个定点（可以不属于A）,如果x0的任意邻域都含有A中异于x的点,则称x0是A的一个聚点.
（1）推（2）是显然的,取其任意一个邻域,此邻域有无穷多点,当然有异于x0的点.
（2）推（1）可以用构造法来证：
取δ1=1,则存在x1∈U开心（x0,δ1）∩A,
取δ2=min（1/2,ㄧx0-x1ㄧ）,则存在存在x2∈U开心（x0,δ2）∩A,且有x2≠x1
......
取δn=min（1/n,ㄧx0-xn-1ㄧ）,则存在存在xn∈U开心（x0,δn）∩A,且有xn与x1,x2,...,xn-1互不相同.
这样一直下去就得到了无限个点.
证法中,构造无限个点时用了点技巧,可以画个数轴作个图帮助理解.
以后在学习泛函分析、点集拓扑学的时候还会遇到聚点,开、闭集,等概念.在泛函分析中,度量空间中的聚点也有类似的三个等价定义.而在点集拓扑学中则只有一个定义类似于（2）,只能用有点来定义.