如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接AC、AD，延长AB交过点C的直线于点P，且∠DCP=∠DAC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AC=5，CD=6，求PC的长．

Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接AC、AD，延长AB交过点C的直线于点P，且∠DCP=∠DAC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AC=5，CD=6，求PC的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，
∵AB⊥CD，
∴BC弧=BD弧，
∴∠BOC=∠DAC，
∵∠DCP=∠DAC，
∴∠BOC=∠DCP，
∵∠ECO+∠EOC=90°，
∴∠ECO+∠DCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵AB⊥CD，
∴CE=DE=(1)/(2)CD=(1)/(2)×6=3，
在Rt△ACE中，AC=5，CE=3，
∴AE=√(AC2−CE2)=4，
设⊙O的半径为R，
在Rt△OCE中，OC=R，OE=AE-OA=4-R，
∵OE²+CE²=OC²，
∴（4-R）²+3²=R²，解得R=(25)/(8)，
∴OC=(25)/(8)，OE=4-(25)/(8)=(7)/(8)，
∵∠EOC=∠DCP，
∴Rt△PCE∽Rt△COE，
∴(PC)/(OC)=(CE)/(OE)，即(PC)/((25)/(8))=(3)/((7)/(8))，
∴PC=(75)/(7)．