数列极限定义设数列{Xn},当n越来越大时,｜Xn-a｜越来越小,则lim(n—>无穷大时)=a；用极限定义证明其错误；最好举出反例.

Question

数列极限定义
设数列{Xn},当n越来越大时,｜Xn-a｜越来越小,则lim(n—>无穷大时)=a；用极限定义证明其错误；最好举出反例.

Answer 1

直接证法
设数列{Xn},当n越来越大时,｜Xn-a｜越来越小
那么只要越来越小即可
即可以是|Xn-a|=f(n)
f(n)>=C>0递减,一种可以是1/n+1>=1>0
则|Xn-a|递减,满足条件
但是由极限定义
lim(n—>无穷大时)=a
表示对于任意ε>0
存在N
使得当n>N时
|Xn-a|N1时
|Xn-a|=C
所以矛盾
所以结论错误
例如Xn=1+1/n
a=0
|Xn-a|=1+1/n 递减
但是lim(n—>无穷大时) Xn=1≠0=a