已知点A，B是抛物线C：y2=2px（p＞0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到直线x-y+2=0的距离为322．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）现给出以下三个论断：①直线AB过焦点F；②直

Question

已知点A，B是抛物线C：y²=2px（p＞0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到直线x-y+2=0的距离为(3√(2))/(2)．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）现给出以下三个论断：①直线AB过焦点F；②直线AD过原点O；③直线BD平行x轴．请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．

Answer 1

（I）因为F((p)/(2)，0)，
依题意得d＝(|(p)/(2)−0+2|)/(√(2))＝(3√(2))/(2)，…（2分）
解得p=2，
所以抛物线C的方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）①命题：若直线AB过焦点F，且直线AD过原点O，则直线BD平行x轴．…（5分）
设直线AB的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
由

x＝ty+1

y2＝4x

得y²-4ty-4=0，∴y₁y₂=-4，…（8分）
直线AD的方程为y＝(y1)/(x1)x，…（9分）
所以点D的坐标为(−1，−(y1)/(x1))，
∴−(y1)/(x1)＝−(4y1)/(y21)＝−(4)/(y1)＝y2，…（12分）
∴直线DB平行于x轴．…（13分）
②命题：若直线AB过焦点F，且直线BD平行x轴，则直线AD过原点O．…（5分）
设直线AB的方程为x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
由

x＝ty+1

y2＝4x

得y²-4ty-4=0，∴y₁y₂=-4，…（8分）
即点B的坐标为(x2，−(4)/(y2))，…（9分）
∵直线BD平行x轴，
∴点D的坐标为(−1，−(4)/(y1))，…（10分）
∴

OA

＝(x1，y1)，

OD

＝(−1，−(4)/(y1))，
由于x1(−(4)/(y1))−y1(−1)＝−y1+y1＝0，
∴

OA

∥

OD

，即A，O，D三点共线，…（12分）
∴直线AD过原点O．…（13分）
③命题：若直线AD过原点O，且直线BD平行x轴，则直线AB过焦点F．…（5分）
设直线AD的方程为y=kx（k≠0），则点D的坐标为（-1，-k），…（6分）
∵直线BD平行x轴，
∴y_B=-k，∴xB＝(k2)/(4)，即点B的坐标为((k2)/(4)，−k)，…（8分）
由

y＝kx

y2＝4x

得k²x²=4x，
∴xA＝(4)/(k2)，yA＝(4)/(k)，即点A的坐标为((4)/(k2)，(4)/(k))，…（10分）
∴

FA

＝((4)/(k2)−1，(4)/(k)) ， 

FB

＝((k2)/(4)−1，−k)，
由于((4)/(k2)−1)(−k)−(4)/(k)•((k2)/(4)−1)＝−(4)/(k)+k−k+(4)/(k)＝0，
∴

FA

∥

FB

，即A，F，B三点共线，…（12分）
∴直线AB过焦点F．…（13分）