如图，直线y=34x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=34x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（）A.17B.16C.15D.18

Question

如图，直线y=(3)/(4)x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y=(3)/(4)x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值为（　　）
A. (1)/(7)
B. (1)/(6)
C. (1)/(5)
D. (1)/(8)

Answer 1

过O作OC⊥AB于C，过N作ND⊥OA于D，
∵N在直线y=(3)/(4)x+3上，
∴设N的坐标是（x，(3)/(4)x+3），
则DN=(3)/(4)x+3，OD=-x，
y=(3)/(4)x+3，
当x=0时，y=3，
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
即OA=4，OB=3，
在△AOB中，由勾股定理得：AB=5，
∵在△AOB中，由三角形的面积公式得：AO×OB=AB×OC，
∴3×4=5OC，
OC=(12)/(5)，
∵在Rt△NOM中，OM=ON，∠MON=90°，
∴∠MNO=45°，
∴sin45°=(OC)/(ON)=((12)/(5))/(ON)，
∴ON=(12√(2))/(5)，
在Rt△NDO中，由勾股定理得：ND²+DO²=ON²，
即（(3)/(4)x+3）²+（-x）²=((12√(2))/(5))2，
解得：x₁=-(84)/(25)，x₂=(12)/(25)，
∵N在第二象限，
∴x只能是-(84)/(25)，
(3)/(4)x+3=(12)/(25)，
即ND=(12)/(25)，OD=(84)/(25)，
tan∠AON=(ND)/(OD)=(1)/(7)．
故选A．