我想问的是一道和排列组合有关系的问题.100的阶乘（100!）可以整除2的k次方,求这个k的最大值（2^k

Question

我想问的是一道和排列组合有关系的问题.100的阶乘（100!）可以整除2的k次方,求这个k的最大值（2^k

Answer 1

需要计算100!中含有2^k即可.只能从其中的偶数中找,即
100!=(1*3*5*.99)*(2*4*6*8*.98*100)
=(1*3*5*.99)*2^50*（1*2*3*.49*50）
=(1*3*5*.99)*2^50*（1*3*.49)*（2*4*6*.50）
=(1*3*5*.99)*（1*3*.49)*2^50*2^25*(1*2*3*4.*25)
=(1*3*5*.99)*（1*3*.49)*2^75*（1*3*5.25)*（2*4*6*.24)
=(1*3*5*.99)*（1*3*.49)*2^75*（1*3*5.25)*（1*2*3*.23)*2^12*(1*2*3*.12)
=(1*3*5*.99)*（1*3*.49)*（1*3*5.25)*（1*2*3*.23)*2^87*(1*2*3*.12)
=M*2^87*(1*2*3*.12)
（记M=(1*3*5*.99)*（1*3*.49)*（1*3*5.25)*（1*2*3*.23)
而1*2*3*.12=（1*3*.11）*（2*4*6.12)
=（1*3*.11）*2^6（1*2*3.6)
=（1*3*.11）*2^6（1*3*5）（2*4*6)
=（1*3*.11）*（1*3*5）*（1*3）*2^10
=N*2^10 其中N=（1*3*.11）*（1*3*5）*（1*3）)
所以100!=M*2^87*N*2^10 =MN*2^97
故100!可以整除2的k次方,k的最大值为97