已知复数z1＝根号3＋i,Z2模＝1,z1乘以z2的平方是虚部为负数的纯虚数,求复数z2注意是z2单独的平方,我要巧算

Question

已知复数z1＝根号3＋i,Z2模＝1,z1乘以z2的平方是虚部为负数的纯虚数,求复数z2
注意是z2单独的平方,我要巧算

Answer 1

里面涉及很多乘法运算,最好是用复数的三角形式
Z1=2(cos(π/6)+isin(π/6))
Z2=cosθ+isinθ(0≤θ≤2π)
那么Z2²=cos2θ+isin2θ
所以Z1Z2²=2(cos(2θ+π/6)+isin(2θ+π/6))
依题意有
cos(2θ+π/6)=0,sin(2θ+π/6)<0
所以θ=2π/3或5π/3
所以Z2=-1/2+(√3/2)i或Z2=1/2-(√3/2)i