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已知一个数列{an}的各项都是1或2.首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列的前n项的和为Sn.参考:31×32=992,32×33=1056,44×4
题目详情
已知一个数列{a n }的各项都是1或2.首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列的前n项的和为S n .参考:31×32=992,32×33=1056,44×45=1980,45×46=2070 (I)试问第10个1为该数列的第几项? (II)求a 2012 和S 2012 ; (III)是否存在正整数m,使得S m =2012?如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(I)将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对, 即(1,2)为第1对,共1+1=2项;(1,2,2,2)为第2对,共1+3=4项;…; (1,
故前k对共有项数为2+4+…+2k=k(k+1). 第10个1所在的项之前共有9对,所以10个1为该数列的 9×(9+1)+1=91(项).…(6分) (II)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32, 故第2012项在第45对中的第32个数,从而a 2012 =2 又前2012项中共有45个1,其余2012-45=1967个数均为2, 于是S 2012 =45×1+1967×2=3979…(10分) (III)∵前k对所在全部项的和为 S k×(k+1) =k+2[k(k+1)-k=2 k 2 +k] , ∴ S 31×32 = S 992 =2×3 1 2 +31=1953 , S 32×33 = S 1056 =2×3 2 2 +32=2080 , 即S 993 =1954且自第994项到第1056项均为2,而2012-1954=58能被2整除, 故存在m=993+29=1022,使S 1022 =2012.…(14分) |
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