若数列{an}前n项和为Sn（n∈N*）（1）若首项a1=1，且对于任意的正整数n（n≥2）均有Sn+kSn−k＝an−kan+k，（其中k为正实常数），试求出数列{an}的通项公式．（2）若数列{an}是等比数列，公比为

Question

若 数列{a_n}前n项和为S_n（n∈N*）
（1）若首项a₁=1，且对于任意的正整数n（n≥2）均有(Sn+k)/(Sn−k)＝(an−k)/(an+k)，（其中k为正实常数），试求出数列{a_n}的通项公式．
（2）若数列{a_n}是等比数列，公比为q，首项为a₁，k为给定的正实数，满足：
①a₁＞0，且0＜q＜1
②对任意的正整数n，均有S_n-k＞0；
试求函数f（n）=(Sn+k)/(Sn−k)+k(an−k)/(an+k)的最大值（用a₁和k表示）

Answer 1

（1）∵(Sn+k)/(Sn−k)＝(an−k)/(an+k)，（其中k为正实常数），
∴S_n=-a_n（n≥2）
∴当n≥2时a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1
即(an)/(an−1)＝(1)/(2)，a₂=-(1)/(2)
∴an＝

−((1)/(2))n−1，n≥2

1，n＝1

（2）f（n）=(Sn+k)/(Sn−k)+k(an−k)/(an+k)
f（n+1）=(Sn+1+k)/(Sn+1−k)+k(an+1−k)/(an+1+k)=(Sn+an+1+k)/(Sn+an+1−k)+k(anq −k)/(anq+k)
∵a₁＞0，且0＜q＜1对任意的正整数n，均有S_n-k＞0
∴f（n+1）-f（n）=(Sn+an+1+k)/(Sn+an+1−k)+k

a

作业帮用户 2017-10-15

问题解析

（1）先根据(Sn+k)/(Sn−k)＝(an−k)/(an+k)，（其中k为正实常数），求出S_n=-a_n（n≥2），然后利用a_n=S_n-S_n-1进行求解，注意验证首项；
（2）先求出f（n+1），然后根据条件判定f（n+1）-f（n）的符号，从而确定f（n）的单调性，从而求出最大值．

名师点评

本题考点：

数列与函数的综合．

考点点评：

本题主要考查了数列的通项公式，以及数列的单调性的判定和最值的求解，是一道综合题，属于中档题．

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