已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3<a3,a2+5>a4，数列{bn}满足bn=，其前n项和为Sn．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若S2为S1，Sm(m∈N＊)的等比中

Question

已知等差数列{a _n }中，首项a ₁ ＝1，公差d为整数，且满足a ₁ +3<a ₃ ,a ₂ +5>a ₄ ，数列{b _n }满足b _n = ，其前n项和为S _n ．
(1)求数列{a _n }的通项公式；
(2)若S ₂ 为S ₁ ，S _m (m∈N ^＊ )的等比中项,求正整数m的值．
(3)对任意正整数k,将等差数列{a _n }中落入区间(2 ^k ,2 ^2k )内项的个数记为c _k ,求数列{c _n }的前n项和T _n

Answer 1

（1） =1+(n1) 2=2n1；（2） =12；（3） .

试题分析：（1）根据题意先确定 的值，再根据等差数列的通项公式求解；（2）根据（1）所得的通项公式求出 ，利用裂项求和法求出其前 项和，再根据等比中项的定义列式求解；（3）)对任意正整数k， ，则 ,而 ，由题意可知 ，利用分组求和法可解答.
试题解析：（1）由题意，得 解得 < d < ．           2分
又d∈Z，∴d=2．
∴ =1+(n1) 2=2n1．             4分
（2）∵             ..6分
∴        7分
∵ ， ， ， 为 ，  ( )的等比中项，
∴ ，即 ，
解得 =12．                                               .9分
(3)对任意正整数k， ，则 ,
而 ，由题意可知   ,                  12分
于是
，
即 .                                 14分 项和公式.