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(本小题满分14分)已知一个数列的各项都是1或2.首项为1,且在第个1和第个1之间有个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列的前项的和为.参考:31×32=992,3
题目详情
(本小题满分14分)已知一个数列 的各项都是1或2.首项为1,且在第 个1和第 个1之间有 个2,即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,….记数列的前 项的和为 .参考:31×32=992,32×33=1056,44×45=1980,45×46=2070 (I)试问第10个1为该数列的第几项? (II)求 和 ; (III)是否存在正整数 ,使得 ?如果存在,求出 的值;如果不存在,请说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(I)91(项);(II) ; (III)存在 =993+29=1022,使 . |
试题分析:(1)根据题意将第 个1与第 个1前的2记为第 对,那么结合已知条件得到前 对共有项数为 (2)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32, 故第2012项在第45对中的第32个数。 (3)由于前k对所在全部项的和为 ,可知结论。 将第 个1与第 个1前的2记为第 对, 即 为第1对,共 项; 为第2对,共 项;……; 为第 对,共 项; 故前 对共有项数为 . (I)第10个1所在的项之前共有9对,所以10个1为该数列的 9×(9+1)+1=91(项) …………3分 (II)因44×45=1980,45×46=2070,2012-1980=32, 故第2012项在第45对中的第32个数,从而 又前2012项中共有45个1,其余2012-45=1967个数均为2, 于是 ……………………7分 (III)前k对所在全部项的和为 ,易得, , , 即 且自第994项到第1056项均为2,而2012-1954=58能被2整除, 故存在 =993+29=1022,使 . ……………………14分 点评:解决该试题的关键是先将数列分组,便于发现规律,如分为(1,2),(1,2,2,2),(1,2,2,2,2,2)…,每组的项数构成数列2,4,6,…,发现将第 个1与第 个1前的2记为第 对,则前 对共有项数为 最后数列分组求和即可。 |
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