设{an}是等比数列，首项为a，公比为q，前n项和为Sn，记Tn=a12+a22+…+an2．（1）若a1=1，S3=3，求数列{an}的通项公式；（2）若Sn=-12an+3，求证：S2n=23Tn；（3）计算：limn→∞SnTn．

Question

设{a_n}是等比数列，首项为a，公比为q，前n项和为S_n，记T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²．
（1）若a₁=1，S₃=3，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S_n=-(1)/(2)a_n+3，求证：S_2n=(2)/(3)T_n；
（3）计算：

lim

n→∞

(Sn)/(Tn)．

Answer 1

（1）∵a₁=1，S₃=3，
∴（1+q+q²）=3，解得：q=1或q=-2．
∴a_n=1或an＝(−2)n−1；
（2）证明：由S_n=-(1)/(2)a_n+3，知a₁=2．
当n=2时，a1+a2＝−(1)/(2)a2+3，解得：a2＝(2)/(3)．
即{a_n}是2为首项，(1)/(3)为公比的等比数列，
S_2n=(2(1−(1)/(32n)))/(1−(1)/(3))＝3(1−(1)/(32n))．
T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²=(4(1−(1)/(32n)))/(1−(1)/(9))＝(9)/(2)(1−(1)/(32n))．
∴S_2n=(2)/(3)T_n；
（3）显然q≠0．
当q=1时，S_n=na，T_n=na²．

lim

n→∞

(Sn)/(Tn)=

lim

n→∞

a＝a；
当q≠1时，Sn＝(a(1−qn))/(1−q)，
T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²=(a2(1−q2n))/(1−q2)．
(Sn)/(Tn)＝(1+q)/(a(1+qn))．
当|q|＞1时，

lim

n→∞

(Sn)/(Tn)=