数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，Sn为其前n项和，a1，a2，a5成等比数列，（Ⅰ）证明S1，S3，S9成等比数列；（Ⅱ）设a1=1，bn=a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．

Question

数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，S_n为其前n项和，a₁，a₂，a₅成等比数列，
（Ⅰ）证明S₁，S₃，S₉成等比数列；
（Ⅱ）设a₁=1，b_n=a 2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：数列{a_n}是公差为d（d≠0）的等差数列，
S_n为其前n项和，a₁，a₂，a₅成等比数列，
可得a₂²=a₁a₅，
即为（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），
化简可得d=2a₁，
S₁S₉=a₁（9a₁+36d）=81a₁²，S₃=3a₁+3d=9a₁，
可得S₁S₉=S₃²，
即为S₁，S₃，S₉成等比数列；
（Ⅱ） 设a₁=1，b_n=a 2n=a₁+（2ⁿ-1）d=1+2（2ⁿ-1）=2ⁿ⁺¹-1，
数列{b_n}的前n项和T_n=（4+8+…+2ⁿ⁺¹）-n
=(4(1-2n))/(1-2)-n=2ⁿ⁺²-4-n．